1ª Etapa - Trigonometria no Triângulo Retângulo:

• História da Trigonometria;
• Definição das relações trigonométricas - Seno, Cosseno e Tangente;
• Resolução de Problemas contextualizados envolvendo as relações trigonométricas no triângulo retângulo. 

A história da Trigonometria...

Para iniciar o conteúdo “Trigonometria”, apresentaremos várias informações que resumem a origem.

Em primeiro lugar, o significado do nome: ‘trigonometria ’ que vem do grego:

                                                 tri - três

                                               gono - ângulo

                                             metrien – medida

• A origem da Trigonometria surgiu quando os astrônomos tiveram a necessidade de medir distancias inacessíveis. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.c. - 230 a.c.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol; para isto ele usou relações entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos internos de triângulos retângulos, denominadas: seno, cosseno e tangente. A parte da matemática que estuda essas relações recebe o nome de trigonometria,  e a ferramenta auxiliar utilizada para o seu desenvolvimento é o triângulo. Com isso os astrônomos calcularam a medida do raio da Terra, a distância da Terra à lua e a distância da Terra ao sol. 
• A história da trigonometria torna-se incerta. Entretanto, pode-se dizer que o início do desenvolvimento da trigonometria se deu principalmente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. É possível encontrar problemas envolvendo a cotangente no Papiro Rhind e também uma notável tábua de secantes na tábula cuneiforme babilônica Plimpton 322.

- Papiro Rhind, Museu de Londres.

• A palavra trigonometria significa medida das partes de um triângulo visto um pouco do significado já acima). Não se sabe ao certo se o conceito da medida de ângulo surgiu com os gregos ou se eles, por contato com a civilização babilônica, adotaram suas frações sexagesimais. Mas os gregos fizeram um estudo sistemático das relações entre ângulos - ou arcos - numa circunferência e os comprimentos de suas cordas, como na imagem abaixo:

Definição das relações trigonométricas: Seno, Cosseno e Tangente.

• Apresentando um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se sen (θ) como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo, resultando-se na fórmula logo acima.

Quer saber o que é Cosseno? Leia logo abaixo e fique a vontade! :)

• Em um triângulo retângulo, o Cos de um ângulo agudo é dado pelo Quociente entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

Em outras palavras:

• O cosseno de um ângulo agudo é a Razão (divisão) entre a medida do cateto adjacente e a medida da hipotenusa.

Assim, resultando em sua fórmula apresentada logo acima.

• Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo, ou seja, pode ser definida como a razão entre o seno deste ângulo e o seu cosseno, expressada na fórmula acima.

Seno:

Problema 1:

Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai desde o solo até ao ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?

Como se trata de um triângulo retângulo podemos afirmar que sen 55º = 60/x ; x = 60/ sen 55°. Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º = 0.819, logo: x = 60/0.819 = 73,26m (aproximadamente), sendo o comprimento do cabo.

Problema 2:

Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º = 0,88, calcule a altura h.

Bom, como o muro é perpendicular ao chão, o triângulo da figura se torna um retângulo, então: 

sen 62º= h/4,5 

 h = 4,5 . sen 62°

 h = 4,5 . 0,88 = 3,96 (2 c.d)

0 3,96 é a altura h, aproximadamente.

Cosseno:

A figura abaixo representa um barco atravessando um rio, partindo de A em direção ao ponto B. A forte correnteza arrasta o barco em direção ao ponto C, segundo um ângulo de 60º. Sendo "A" a largura do rio de 120 m, à distância percorrida pelo barco até o ponto C, é:

1ª imagem:

2ª imagem:

Assim, de acordo com as duas imagens apresentadas, conhecendo a medida do cateto adjacente ao ângulo de 60° e desejando calcular a medida da hipotenusa do triângulo ABC, lá se vai uma dica: É melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60°.

Logo, coloco em prática o cálculo do exercício:

cos 60º = 120/x

1/2 = 120/x —> 240.

x = 240

Tangente:

Calcule a altura do seguinte castelo:

Seja x a medida do cateto oposto ao ângulo indicado na imagem acima, já por observação temos:

tg18° = x/140 = 40 . tg18°

É necessário, para isso, calcular a tangente, obtendo:

tg18° = 0,325.

Assim: x = 40.0,325 = 13

13 + 1,2 = 14,2 (altura do castelo).

2ª Etapa - Trigonometria no Círculo:

• Fenômeno Periódicos;
• Círculo Trigonométrico - medidas de arcos em radianos - correspondência entre radianos e graus, arcos côngruos - menor determinação positiva;
• Funções Trigonométricas - Seno, cosseno e Tangente. Amplitude, domínio, período e imagem;
• Equações trigonométricas simples envolvendo (Seno, Cosseno e Tangente).